- Proposiciones y conectivos lógicos
- Descripción mediante tabla de verdad
- Reglas de inferencia y de reemplazo
- Funciones proposicionales
- Cuantificador y Ejemplifican
- Métodos de demostración (Directo, Indirecto, Absurdo)
- Vídeo, es muy importante para la comprensión del tema
Para comprender bien el tema primero debemos saber algunas cuestiones clave.
Proposiciones:
Son afirmaciones. Pueden ser simples o compuestas. Las compuestas son aquellas
que incluyen más de una proposición simple y se unen mediante conectores.
Conector
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Análisis mediante tabla de verdad
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|||
Se llama
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Se lee
|
Se simboliza
|
Las
características destacadas de la tabla se encuentran pintadas de rojo.
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Conjunción |
Y |
∧ |
v
v v
f f
v
v f
f
f f
f
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Disyunción |
O |
∨ |
v v v
f v v
v v f
f f f
|
|
Negación |
No |
∼ |
v f
f v
|
|
Implicación |
Implica |
⇒ |
v v v
f v v
v f f
f v f
|
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Equivalencia |
Equivale |
↔ |
v v v
f f v
v f f
f v f
|
|
Otros símbolos que podemos encontrar a lo largo de la
unidad:
Símbolo Significa
∀ Para Todo
∃ Existe
∄ No existe
∴ Por lo tanto
≡ Equivale
: Tal que
Símbolo Significa
∀ Para Todo
∃ Existe
∄ No existe
∴ Por lo tanto
≡ Equivale
: Tal que
RESULTADOS DE LA TABLA DE VERDAD.
- Cuando todos los resultados son Verdaderos decimos que es una TAUTOLOGIA.
- Cuando los resultados son variados, (verdaderos y falsos) decimos que es una CONTINGENCIA.
- Cuando todos los resultados son Falsos decimos que es una CONTRADICCIÓN.
Reglas de inferencia
1) Modus Ponens (MP) p→q
p
q
2) Silogismo Hipotético (SH) p→q
q→r
p→r
3) Dilema Constructivo (DC) (p→q)∧(r→s)
p∨r
q∨s
4) Simplificación (Simp.) p∧q
p
5) Adición (Ad.) p p∧q
6) Modus Tolens (MT) p→q
~p
~q
7) Silogismo Disyuntivo (SD) p∨q
∼p
q
8) Absorción (Abs.) p→q
p→p∧q
9)Conjunción (Conj.) p
q p∧q
Reglas de reemplazo
(Las expresiones separadas por ≡ pueden reemplazarse mutuamente)
1) Teorema de Morgan (De M)
a) ∼(p∧q)≡∼p∨∼q
b) ∼(p∨q)≡∼p∧∼q
2) Conmutación (Conm.)
a) p∧q≡q∧p
b) p∨q≡q∨p
3) Asociación (Asoc.)
a) (p∧q)∧r≡p∧(q∧r)
b) (p∨q)∨r≡p∨(q∨r)
4) Distribución (Dist.)
a) p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(q∧r)
b) p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r)
5) Doble Negación (DN)
p≡∼∼p
6) Transposición (Trans.)
p→q≡~q→~p
7) Definición de implicación (Imp.)
p→q≡~p∨q
8) Definición de equivalencia (Equiv.)
a) p↔q≡(p→q)∧(q→p)
b) p↔q≡(p∧q)∨(∼p∧∼q)
9) Exportación (Expor.)
(p∧q)→r≡p→(q→r)
10) Tautología (Taut.)
p≡p∨p
Funciones Proposicionales
Una Función proposicional pasa a ser una proposición cuando la indeterminada toma un valor (sea verdadero o falso) , o cuando utilizamos cuantificadores universales ( ∀, Para todo) o existenciales (∃, existe)
- Función Proposicional= P(x)→"x es un numero par\"
- Proposición= (La indeterminada toma valor 5→x=5) P(5)→"5 es un numero par"
Para ser verdadera la función; toda la variable debe serlo:
∀x:P(x) Todos los números son pares FALSO
∃x:P(x) existen números pares VERDADERO
Para demostrar su validez podemos utilizar reglas de inferencia cuantificada y de reemplazo cuantificada.
Reglas de inferencia cuantificada
Ejemplificación Universal (EU)
(∀x:P(x))
(P(z))
Generalización Universal (GU)
(P(z))
(∀x:P(x))
Ejemplificación Existencial (EE)
(∃x:P(x))
(P(u))
Generalización Existencial (GE)
(P(u))
(∃x:P(x))
Ejemplificación Constante (EC)
a) (∀x:P(x))
(P(c))
b) (∃x:P(x))
(P(c))
Reglas de reemplazo cuantificado
Negación de la cuantificación Universal (NU) ~∀x:P(x)≡∃x:~P(x)
Negación de la cuantificación Existencial (NE) ~∃x:P(x)≡∀x:~P(x)
Métodos demostrativos
Para demostrar enunciados condicionales a través de la implicación (p→q) hay diversos métodos.
Método directo se basa en partir del antecedente para llegar al consecuente.
Ejemplo: El cuadrado de un número par es par.
(para simbolizar una potencia utilizaremos un pico y luego la potencia a la que elevaremos, ejemplo 20 al cuadrado sera 20^2)
Si n es par; n=2k; k∈Z
n^2=(2k)^2
n^2=4k^2
n^2=2.2k^2
Vamos a suponer que 2k^2 es t (un numero cualquiera)
n^2=2t; t∈Z
∴n es par y n^2 es par
Ya que cualquier numero multiplicado por 2 (o por cualquier numero par) da como resultado un numero par
Método indirecto consiste en aplicar el enunciado con transposición que también es condicional y de ahí con método directo.
Ejemplo: El cuadrado de un número par es par.
Si n^2 es par→n es par; n∈Z
LA TRANSPOSICIÓN DICE p→q≡~q→~p
Aplicando la transposición al ejemplo quedaría
Si n es impar→n^2 es impar; n=2k+1; k∈Z
n^2=〖(2k+1)〗^2
n^2=4k^2+4k+1
n^2=2.2k^2+2.2k+1
Vamos a suponer que 2.k^2+2.2k es t (un numero cualquiera)
n^2=2t+1
∴n^2 es impar y n es impar
Ya que cualquier número multiplicado por dos (o cualquier número par) da como resultado un número par y si le sumamos 1 a cualquier número par nos da como resultado un número impar.
Método del absurdo consiste en considerar que p→q es falso y llegar a algún absurdo, demuestra que el razonamiento es verdadero.
Ejemplo= Si n es un entero impar→no es múltiplo de cuatro (vamos a simbolizar al multiplo de cuatro con un punto detrás del 4, 4 ̇ )
n es impar →n no es 4 ̇
Negamos una de las partes n es impar ∧ n es 4 ̇ n=2k+1; k∈Z ∧ n es 4 ̇
si n es múltiplo de cuatro diremos que
n=4t ,
ya que cualquier numero multiplicado por 4 es múltiplo de 4
y si n es impar suponemos
n=2t+1
Cualquier numero multiplicado por un numero par da como resultado un numero par, por lo tanto de que n es 4 ̇ y es impar es imposible; un absurdo, pero podemos concluir que si no hubiésemos negado una de las partes el razonamiento si era válido.
∴ n es impar y no es 4 ̇
Ahora les voy a dejar un vídeo que es importante que lo miren ya que explico, no solo esto, sino también ejemplos para que puedan aplicarlo. espero les sirva y se suscriban al blogg, saludos
