LÓGICA SIMBOLICA

El contenido de esta entrada sera de la materia álgebra, la unidad lógica simbólica, en la cual desarrollaremos:

• Proposiciones y conectivos lógicos
• Descripción mediante tabla de verdad
• Reglas de inferencia y de reemplazo
• Funciones proposicionales
• Cuantificador y Ejemplifican
• Métodos de demostración (Directo, Indirecto, Absurdo)
• Vídeo, es muy importante para la comprensión del tema

Para comprender bien el tema primero debemos saber algunas cuestiones clave.

Proposiciones: Son afirmaciones. Pueden ser simples o compuestas. Las compuestas son aquellas que incluyen más de una proposición simple y se unen mediante conectores.

Conector			Análisis mediante tabla de    verdad
Se llama	Se lee	Se simboliza	Las características destacadas de la tabla se encuentran pintadas de rojo.
Conjunción	Y	∧	Solo cuando ambos son verdaderos el resultado es verdadero.   p  ∧  q    v    v    v  f     f    v  v    f    f  f     f    f
Disyunción	O	∨	Siempre que haya al menos  un V se considera verdad  el  resultado.   p  ∨  q    v   v   v  f    v   v  v    v   f  f    f    f
Negación	No	∼	Lo  contrario. p  ∼p    v     f  f     v
Implicación	Implica	⇒	Solo cuando el primero es verdadero y el segundo falso el resultado es falso p  ⇒  q    v   v   v f   v   v v   f   f f   v   f
Equivalencia	Equivale	↔	Cuando ambos son iguales, es verdadero p    ↔   q v     v    v f      f    v v     f     f f      v    f

Otros símbolos que podemos encontrar a lo largo de la unidad:
Símbolo Significa
∀         Para Todo
∃         Existe
∄         No existe
∴         Por lo tanto
≡         Equivale
 :              Tal que

RESULTADOS DE LA TABLA DE VERDAD.

•  Cuando todos los resultados son Verdaderos decimos que es una TAUTOLOGIA.
•  Cuando los resultados son variados, (verdaderos y falsos) decimos que es una CONTINGENCIA.
• Cuando todos los resultados son Falsos decimos que es una  CONTRADICCIÓN.

A parte de la tabla de verdad podemos demostrar la validez de un razonamiento mediante tablas de inferencia y reemplazo.

Reglas de inferencia

1) Modus Ponens (MP) p→q
                                   p    
                                   q

2) Silogismo Hipotético (SH) p→q                                                                           

                                          q→r                                               

                                          p→r

3) Dilema Constructivo (DC)      (p→q)∧(r→s)    

                                                      p∨r            

                                                      q∨s

4) Simplificación (Simp.) p∧q                                     

                                       p

5) Adición (Ad.)     p                                                                                                                               p∧q

6) Modus Tolens (MT) p→q               

                                 ~p   

                                 ~q

7) Silogismo Disyuntivo (SD) p∨q       

                                          ∼p                                 

                                             q

8) Absorción (Abs.)          p→q                          

                                    p→p∧q

9)Conjunción (Conj.)         p                            

                                       q                                                                                                                               p∧q

Reglas de reemplazo 

(Las expresiones separadas por ≡ pueden reemplazarse mutuamente)

1) Teorema de Morgan (De M)

a) ∼(p∧q)≡∼p∨∼q

b) ∼(p∨q)≡∼p∧∼q

2) Conmutación (Conm.)

a) p∧q≡q∧p

b) p∨q≡q∨p

3) Asociación (Asoc.)

a) (p∧q)∧r≡p∧(q∧r)

b) (p∨q)∨r≡p∨(q∨r)

4) Distribución (Dist.)

a) p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(q∧r)

b) p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r)

5) Doble Negación (DN)

 p≡∼∼p

6) Transposición (Trans.)

p→q≡~q→~p

7) Definición de implicación (Imp.)

p→q≡~p∨q

8) Definición de equivalencia (Equiv.)

a) p↔q≡(p→q)∧(q→p)

b) p↔q≡(p∧q)∨(∼p∧∼q)

9) Exportación (Expor.)

(p∧q)→r≡p→(q→r)

10) Tautología (Taut.)

 p≡p∨p

Funciones Proposicionales

Una Función proposicional pasa a ser una proposición cuando la indeterminada toma un valor (sea verdadero o falso) , o cuando utilizamos cuantificadores universales ( ∀, Para todo) o existenciales (∃, existe)

• Función Proposicional=  P(x)→"x es un numero par\" 
• Proposición= (La indeterminada toma valor 5→x=5) P(5)→"5 es un numero par"

Para ser verdadera la función; toda la variable debe serlo: 

∀x:P(x)  Todos los números son pares FALSO

∃x:P(x)   existen números pares VERDADERO

Para demostrar su validez podemos utilizar reglas de inferencia  cuantificada y de reemplazo cuantificada.

Reglas de inferencia cuantificada

Ejemplificación Universal (EU)

(∀x:P(x))

    (P(z))

Generalización Universal (GU)

          (P(z))  

       (∀x:P(x))

Ejemplificación Existencial (EE)

(∃x:P(x))

    (P(u))

Generalización Existencial (GE)

   (P(u))  

  (∃x:P(x))

Ejemplificación Constante (EC)

    a)  (∀x:P(x))

            (P(c))

     b) (∃x:P(x))

           (P(c))

Reglas de reemplazo cuantificado

Negación de la cuantificación Universal (NU)    ~∀x:P(x)≡∃x:~P(x)

Negación de la cuantificación Existencial (NE)  ~∃x:P(x)≡∀x:~P(x)

Métodos demostrativos

Para demostrar enunciados condicionales a través de la implicación (p→q) hay diversos métodos.

Método directo se basa en partir del antecedente para llegar al consecuente.

 Ejemplo: El cuadrado de un número par es par.

 (para simbolizar una potencia utilizaremos un pico y luego la potencia a la que elevaremos, ejemplo 20 al cuadrado sera 20^2)

Si n es par; n=2k; k∈Z

n^2=(2k)^2

n^2=4k^2

 n^2=2.2k^2  

Vamos a suponer que 2k^2 es t (un numero cualquiera)

n^2=2t; t∈Z

∴n es par y n^2 es par

Ya que cualquier numero multiplicado por 2 (o por cualquier numero par) da como resultado un numero par

Método indirecto consiste en aplicar el enunciado con transposición que también es condicional y de ahí con método directo.

Ejemplo: El cuadrado de un número par es par.

Si n^2  es par→n es par; n∈Z

LA TRANSPOSICIÓN DICE p→q≡~q→~p

Aplicando la transposición al ejemplo quedaría

Si n es impar→n^2 es impar; n=2k+1; k∈Z

n^2=〖(2k+1)〗^2

n^2=4k^2+4k+1

n^2=2.2k^2+2.2k+1

Vamos a suponer que 2.k^2+2.2k es t (un numero cualquiera)

n^2=2t+1

∴n^2 es impar y n es impar

Ya que cualquier número multiplicado por dos (o cualquier número par) da como resultado un número par y si le sumamos 1 a cualquier número par nos da como resultado un número impar.

Método del absurdo consiste en considerar que p→q es falso y llegar a algún absurdo, demuestra que el razonamiento es verdadero.

Ejemplo= Si n es un entero impar→no es múltiplo de cuatro (vamos a simbolizar al multiplo de cuatro con un punto detrás del 4,  4 ̇ ) 

n es impar →n no es 4  ̇ 

Negamos una de las partes             n es impar ∧ n es 4  ̇               n=2k+1; k∈Z  ∧  n es 4 ̇

si n es múltiplo de cuatro diremos que

n=4t ,

 ya que cualquier numero multiplicado por 4 es múltiplo de 4

y si n es impar suponemos

n=2t+1

Cualquier numero multiplicado por un numero par da como resultado un numero par, por lo tanto de que n es 4 ̇ y es impar es imposible; un absurdo, pero podemos concluir que si no hubiésemos negado una de las partes el razonamiento si era válido.                

          

                                                            ∴ n es impar y no es 4 ̇ 

Ahora les voy a dejar un vídeo que es importante que lo miren ya que explico, no solo esto, sino también ejemplos para que puedan aplicarlo. espero les sirva y se suscriban al blogg, saludos